If we use MMA to solve series:

inttrans:-fourier(sech(x), x, -k);

#Pi*sech(k*Pi/2)

L := 1;
g := 9.81;
f := 4*sqrt(L/g)*EllipticF(Pi/2, sin(theta0/2));
plot([Re(f), Im(f)], theta0 = 1 .. 20);

With Maple 2022.2 and the option  adaptive I have:

Download ASin.mw

value(sol);
simplify(%);

I executed on Maple 2022.2 ,give me:

#                  1      /               /
theta__1(y) = ---------- |27 (y + sigma) |
                      12 \               \
              20 sigma                    
  5                     9   /  10                 
- - lambda (k - 1) sigma  + |- -- lambda (k + 1) y
  9                         \  27                 

     /  149     149\  4   /49      49 \  3   /  29     29\  2
   + |- --- n + ---| k  + |--- n - ---| k  + |- -- n + --| k 
     \  432     432/      \108     108/      \  72     72/   

     /49      49 \     10            149     149\      8   11   
   + |--- n - ---| k - -- Q lambda - --- n + ---| sigma  - -- (k
     \108     108/     9             432     432/          6    

        /10  2          5          / 2   14      \          
   - 1) |-- y  lambda + -- (k + 1) |k  - -- k + 1| (n - 1) y
        \33             36         \     11      /          

               / 2   2       \\      7   ///  1     1\  4
   + Q (n - 1) |k  - -- k + 1|| sigma  + |||- - n + -| k 
               \     11      //          \\\  8     8/   

     /1     1\  3   /  3     3\  2   /1     1\     1  
   + |- n - -| k  + |- - n + -| k  + |- n - -| k - - n
     \2     2/      \  4     4/      \2     2/     8  

     10            1\  2
   - -- Q lambda + -| y 
     9             8/   

     145                   / 2   50      \  
   - --- (k + 1) Q (n - 1) |k  - -- k + 1| y
     108                   \     29      /  

     23  2 / 2   26      \        \      6                     /
   - -- Q  |k  - -- k + 1| (n - 1)| sigma  - 4 (k - 1) (n - 1) |
     6     \     23      /        /                            \
  1                 2  3   1          2  2   5  2              3\ 
- -- (k + 1) (k - 1)  y  + - Q (k - 1)  y  + - Q  (k + 1) y + Q | 
  32                       4                 8                  / 

       5             /  1         4  4   3                  2  3
  sigma  - 2 (n - 1) |- -- (k - 1)  y  - - Q (k + 1) (k - 1)  y 
                     \  32               8                      

     3  2        2  2   5  3              4\      4               
   + - Q  (k - 1)  y  + - Q  (k + 1) y + Q | sigma  - 4 (k - 1) Q 
     2                  6                  /                      

          /  1        2  2   3                2\  2      3
  (n - 1) |- - (k - 1)  y  - - Q (k + 1) y + Q | y  sigma 
          \  8               8                 /          

        2          2 /  3        2  2   1                2\ 
   - 2 Q  (n - 1) y  |- - (k - 1)  y  - - Q (k + 1) y + Q | 
                     \  4               2                 / 

       2      3  4                          4  4        \   
  sigma  + 2 Q  y  (n - 1) (k - 1) sigma + Q  y  (n - 1)| (y
                                                        /   

              \
   - sigma) Br|
              /

Analytic_result_Help_ver2.mw

Using:

restart;
kernelopts(version);
#`Maple 2022.1, X86 64 WINDOWS, May 26 2022, Build ID 1619613`

A := factor(sum(sum(sum(sum(sum(sum(sum(sum(((x - i1)^2 + (y - i2)^2)*((x - j1)^2 + (y - j2)^2)*((x - k1)^2 + (y - k2)^2)*((x - l1)^2 + (y - l2)^2), i1 = 1 .. N), j1 = 1 .. N), k1 = 1 .. N), l1 = 1 .. N), i2 = 1 .. N), j2 = 1 .. N), k2 = 1 .. N), l2 = 1 .. N));

N := 8:
B := CodeTools:-Usage(A);

#memory used=1.77KiB, alloc change=0 bytes, cpu time=0ns, real time=0ns, gc time=0ns
#B := (5764801*(3*x^2 + 3*y^2 - 24*x - 24*y + 120)^4)/81

plot([Re((-2)^x), Im((-2)^x)], x = -2 .. 2, legend = ["Real", "Imaginary"]);

kernelopts(version)
#`Maple 2022.1, X86 64 WINDOWS, May 26 2022, Build ID 1619613`

(int(sin(x)*exp(-2*I*Pi*f*x)/x, x = -infinity .. infinity) assuming (0 < f));

#signum(0, -2*Pi*f + 1, 0)*Pi/4 + Pi/2 - signum(0, 2*Pi*f - 1, 0)*Pi/4

convert(%, piecewise);

#piecewise(f < 1/(2*Pi), Pi, f = 1/(2*Pi), Pi/2, 1/(2*Pi) < f, 0)

Order := 50;
ode := diff(x(u), u, u) + 1/4*exp(-u^2)*x(u) = 0;
sol := convert(dsolve([ode, x(0) = 1, D(x)(0) = 0], x(u), 'series'), polynom);
plot([rhs(sol), diff(rhs(sol), u)], u = 0 .. 2, view = [0 .. 2, -1/2 .. 1])

Looks like a bug in integrate.

int(x^n*exp(x), x = 0 .. 2, method = _RETURNVERBOSE); #Can't solve.

I have only a workround.

See attached file:2_ver1.mw

As a infinite sum:

Int(sin(sqrt(-x^2 + 1)), x) = Sum(2^(-1/2 - k)*sqrt(Pi)*x^(1 + 2*k)*BesselY(-1/2 + k, 1)/((1 + 2*k)*GAMMA(1 + k)), k = 0 .. infinity) + C

for: -1<=x<=1

Check:

int(sin(sqrt(-x^2 + 1)), x = 0 .. 1, numeric);
evalf(add(eval(2^(-1/2 - k)*sqrt(Pi)*x^(1 + 2*k)*BesselY(-1/2 + k, 1)/((1 + 2*k)*GAMMA(1 + k)), x = 1), k = 0 .. 2000));

Download SystemRecursive_new2.mw

.

f := (x, y) -> piecewise(x <> 0 and y <> 0, (y^2 + x^2)^x, x = 0 and y = 0, 1);
DX := diff(f(x, y), x);
DY := diff(f(x, y), y);
[eval(DX, [x = 1, y = 1]), eval(DY, [x = 1, y = 1])]

#at x=1 and y=1;
#[2*ln(2) + 2, 2]

Download Arctan_ver2.mw

restart;
with(LinearAlgebra);
w := (2*Pi)/14;
v := Vector([1, sin(w*t), cos(w*t)]);
simplify(eval(sum(v . (Transpose(v)), t = k .. k + n), n = 13));